障碍物用如下公式表示

O(m)={y∈Rn∣A(m)y⪯Kb(m)}\mathbb{O}^{(m)} = \left\{ \bm{y} \in \mathbb{R} ^n \mid \bm{A}^{(m)} \bm{y} \preceq _{\mathcal{K}} \bm{b}^{(m)}\right\}

上标(m)^{(m)}表示在时间步为mm时的障碍物位置；A(m)y⪯Kb(m)\bm{A}^{(m)} \bm{y} \preceq _{\mathcal{K}} \bm{b}^{(m)}可以展开为b(m)−A(m)y∈K\bm{b}^{(m)} - \bm{A}^{(m)} \bm{y} \in \mathcal{K}。若令K=R+l\mathcal{K} = \mathbb{R} ^l_+即非负象限锥，则此广义不等式变为逐元素不等式≤\leq，此时障碍物由不同的半空间组成，是一个多面体；若令锥为二阶锥，此时障碍物是一个椭球

被控物体用符号E(xk)\mathbb{E}(\bm{x}_k)表示，其中xk\bm{x}_k表示被控物体在时间步为kk时的状态

当被控物体被视为质点时，它可以表示为

E(xk)=pk\mathbb{E}(\bm{x}_k) = \bm{p}_k

pk\bm{p}_k表示质点在时间步为kk时的位置

当被控物体被视为全维度物体时，即形状不可忽略，它可以表示为

E(xk)=R(xk)B+t(xk),B≔{y∣Gy⪯Kˉg}\mathbb{E}(\bm{x}_k) = \bm{R}(\bm{x}_k) \mathbb{B} + \bm{t}(\bm{x}_k) , \mathbb{B} \coloneqq \left\{ \bm{y} \mid \bm{Gy} \preceq _{\bar{\mathcal{K}}} \bm{g}\right\}

可以视为对一个已知的锥B\mathbb{B}进行旋转G\bm{G}和平移g\bm{g}

可以构造一个具备避障功能的模型预测控制

min⁡x,u,λ ∑k=0Nℓ(xk,uk)s.t.  x0=xS,xN+1=xFxk+1=f(xk,uk),h(xk,uk)≤0E(xk)∩O(m)=∅\begin{align*} \min_{\bm{x},\bm{u},\bm{\lambda}} \ &\sum_{k=0}^{N} \ell(\bm{x}_k, \bm{u}_k) \\ \text{s.t. } \ & \bm{x}_0 = \bm{x}_S, \quad \bm{x}_{N+1} = \bm{x}_F \\ & \bm{x}_{k+1} = f(\bm{x}_k,\bm{u}_k), \quad h(\bm{x}_k, \bm{u}_k) \leq 0 \\ & \mathbb{E}(\bm{x}_k) \cap \mathbb{O}^{(m)} = \emptyset \end{align*}

其中ℓ(⋅)\ell(\cdot)为代价函数