雯欂の修仙笔记

3. 可微LQR

此论文通过隐式方法将优化问题表达为神经网络中的一层，它的内部不是传统意义上的神经元堆叠，不是包含全连接层、激活函数等结构，而是一个特殊的“可学习的可微优化层” 通过理论推导得到它的前向传播和反向传播的公式表达，并不需要定义它的内部结构 2. 相关研究 使用神经网络解决受限类别的优化问题的整体思路一般可以分为四种 基于能量的学习方法(Energy-based learning methods) 总体思路为：在训练过程中将能量函数在观测数据流形附近调低，而在其他地方调高。缺点：一些问题中可能没有参测数据；可能会出现不稳定问题 解析法(Analytically) 如果能找到优化问题的解析解，那么梯度一般也可以解析地计算出来。缺点：大多数问题没有解析解 展开(Unrolling) 将优化问题的迭代求解过程近似展开为神经网络的结构。缺点：展开操作会增加网络的复杂性和深度；对于有约束的问题可能难以展开 最小化操作求导(Argmin differentiation) 类似本文的操作，对argmin问题进行微分 3. OptNet：在神经网络中解决优化问题 本文重点研究二次规划问题 min⁡z ...

Δ⊂Rn\Delta \subset \mathbb{R} ^nΔ⊂Rn表示凸物体

2. 优化问题构建 加粗代表变量 2.1 nrmp 定义变量variable_definition d\bm{d}d 安全距离 尺寸为1×T1 \times T1×T s\bm{s}s 状态 尺寸为3×(T+1)3 \times (T+1)3×(T+1)，代表t0−Tt_0 - Tt0​−T u\bm{u}u 控制输入 尺寸为3×T3 \times T3×T，代表t1−Tt_1 - Tt1​−T 定义参数parameter_definition sss 预测状态 尺寸为3×(T+1)3 \times (T+1)3×(T+1) q∘s♢q \circ s^\diamondsuitq∘s♢ 权重乘以参考状态 尺寸为3×(T+1)3 \times (T+1)3×(T+1) p∘u♢p \circ u^\diamondsuitp∘u♢ 权重乘以参考控制输入 尺寸为3×(T+1)3 \times (T+1)3×(T+1) AAA 运动学方程中的状态转移矩阵 尺寸为T×(3×3)T \times (3 \times 3)T×(3×3) BBB 运动学方程中的输入移矩阵 尺寸为T×(3×...

1. 重要函数 def is_convex_and_ordered(self, points: NDArray[np.float64]) -> tuple[bool, str] 这个函数的作用是判断按照顺序排列的顶点是否构成凸集，并判断点是顺时针排列"CW"还是逆时针排列"CCW" 实现思路：按顺序取三个点o,a,bo,a,bo,a,b，判断oa→\overrightarrow{oa}oa和ob→\overrightarrow{ob}ob的叉积，如果所有叉积同号则说明aaa点在ob→\overrightarrow{ob}ob的外侧，那么所有内角都为凸角，同时根据叉积的正负还可以判断点是顺时针排列（负）还是逆时针排列（正） def gen_inequal_global(self, vertex: NDArray[np.float64])-> tuple[NDArray[np.float64], NDArray[np.float64]] 此函数的作用是根据顶点生成半空间不等式Ax≤b\bm{Ax} \leq \bm{b}Ax≤b 实...

GitHub TRO Arxiv YouTube Bilibili ROS 此论文以OBCA为基础，具体解释请参考OBCA 3. 问题陈述 3.1 障碍物模型 障碍物可以看成凸集，用锥不等式表示 Om={o∈ROm∣Dmo⪯Ombm}\mathbb{O}_m = \left\{ \bm{o} \in \mathbb{R} ^{O_m} \mid \bm{D}_m \bm{o} \preceq_{\mathcal{O}_m} \bm{b}_m \right\} Om​={o∈ROm​∣Dm​o⪯Om​​bm​} 其中mmm代表障碍物的序号 3.2 机器人模型 可以将机器人本体看成一个紧凑的凸集，初始状态用锥不等式表示，对初始状态进行旋转和平移便可以得到不同时刻的占用空间表示 C={z∈Rnr∣Gz⪯Krh}Zt(st)={Rt(st)z+p(st)∣z∈C}\begin{gather*} \mathbb{C} = \left\{ \bm{z} \in \mathbb{R} ^{n_r} \mid \bm{Gz} \preceq_{\mathcal{K}_r}\bm{h} \r...

GitHub TRO Arxiv YouTube Bilibili Website ROS 3. 问题陈述 3.1 机器人运动学 3.2 机器人模型 可以将机器人本体看成一个紧凑的凸集，初始状态用锥不等式表示为 C={x∈Rn∣Gx⪯Kh}\mathbb{C} = \left\{ \bm{x} \in \mathbb{R} ^n \mid \bm{Gx} \preceq_{\mathcal{K}}\bm{h} \right\} C={x∈Rn∣Gx⪯K​h} 具体解释请参考OBCA 由于机器人在不断运动，因此给定状态st\bm{s}_tst​，第ttt帧的占用空间表示为凸紧集Zt\mathbb{Z}_tZt​ Zt(st)={Rt(st)x+tt(st)∣x∈C}\mathbb{Z}_t(\bm{s}_t) = \left\{ \bm{R}_t(\bm{s}_t)\bm{x} + \bm{t}_t(\bm{s}_t) \mid \bm{x} \in \mathbb{C} \right\} Zt​(st​)={Rt​(st​)x+tt​(st​)∣x∈C} 本质上是对C\ma...

GitHub TCST Arxiv 2. 问题描述 2.1 障碍物建模 障碍物用如下公式表示 O(m)={y∈Rn∣A(m)y⪯Kb(m)}\mathbb{O}^{(m)} = \left\{ \bm{y} \in \mathbb{R} ^n \mid \bm{A}^{(m)} \bm{y} \preceq _{\mathcal{K}} \bm{b}^{(m)}\right\} O(m)={y∈Rn∣A(m)y⪯K​b(m)} 上标(m)^{(m)}(m)表示在时间步为mmm时的障碍物位置；A(m)y⪯Kb(m)\bm{A}^{(m)} \bm{y} \preceq _{\mathcal{K}} \bm{b}^{(m)}A(m)y⪯K​b(m)可以展开为b(m)−A(m)y∈K\bm{b}^{(m)} - \bm{A}^{(m)} \bm{y} \in \mathcal{K}b(m)−A(m)y∈K。若令K=R+l\mathcal{K} = \mathbb{R} ^l_+K=R+l​即非负象限锥，则此广义不等式变为逐元素不等式≤\leq≤，此时障碍物由不同的半空间组成，是...

1. 前言 随机排列算法，目的是将一个数组中的元素随机打乱随机排列 2. Fisher-Yates洗牌算法 2.1 思路 获取数组长度为nnn 随机选取[0,n−1][0,n-1][0,n−1]位置上的数据，并与第一个数据交换 随机选取[1,n−1][1,n-1][1,n−1]位置上的数据，并与第二个数据交换 重复这个过程 2.2 代码参考 void rand_permutation(const int n, int *p) { typedef std::uniform_int_distribution<int> rand_int; typedef rand_int::param_type rand_range; static std::mt19937_64 gen; static rand_int rdi(0, 1); int j, k; for (int i = 0; i...

1. 前言 重点介绍Seidel’s线性规划算法，适用于低纬度线性规划 完整代码详见github 2. 代码详解 2.1 linprog函数 求解的问题为 min⁡C⊤xs.t.Ax≤b\begin{gather*} \min \bm{C}^{\top}\bm{x} \\ s.t. \bm{Ax} \leq \bm{b} \end{gather*} minC⊤xs.t.Ax≤b​ prev存储的是链表中第i个元素的前一个元素的索引 next存储的是链表中第i个元素的后一个元素的索引 perm存储的是随机排列数列 2.2 rand_permutation函数 随机排列，参考随机排列算法博客