雯欂の修仙笔记

我们在这里介绍线性方程以及一种用于表示它们的标准形式Ax=y\bm{Ax} = \bm{y}Ax=y，其中x∈Rn\bm{x} \in \mathbb{R} ^nx∈Rn为未知变量，A∈Rm,n\bm{A} \in \mathbb{R} ^{m,n}A∈Rm,n为系数矩阵，y∈Rm\bm{y} \in \mathbb{R} ^my∈Rm为已知向量。实际上，求解一组线性方程 Ax=y\bm{Ax} = \bm{y}Ax=y的问题也可以解释为一个优化问题，即相对于x\bm{x}x最小化∥Ax−y∥2\lVert \bm{Ax} - \bm{y} \rVert_2∥Ax−y∥2​ 1. 动机和示例 如前面的例子所示，通用的线性方程可以用向量形式表示为 Ax=y\bm{Ax} = \bm{y} Ax=y 其中x∈Rn\bm{x} \in \mathbb{R} ^nx∈Rn为未知变量，A∈Rm,n\bm{A} \in \mathbb{R} ^{m,n}A∈Rm,n为系数矩阵，y∈Rm\bm{y} \in \mathbb{R} ^my∈Rm为已知向量。 我们预期，根据A\bm{A}A和y\b...

1. 奇异值分解(Singular value decomposition) 1.1 基础 矩阵的奇异值分解(SVD)提供了一种三项分解，类似于谱分解，但适用于任何矩阵。通过SVD，我们可以通过矩阵向量乘积y=Ax\bm{y} = \bm{Ax}y=Ax完整描述与A\bm{A}A相关的线性映射，其过程分为三步：首先对输入向量x\bm{x}x进行正交变换（旋转(rotation)或反射(reflection)）；然后对旋转后的输入向量的各元素进行非负缩放，并可能增加或移除该向量的维度以匹配输出空间的维度。最后，在输出空间中进行另一次正交变换。用公式表示为任意矩阵A∈Rm,n\bm{A} \in \mathbb{R} ^{m,n}A∈Rm,n都可以分解为 A=UΣ~V⊤\bm{A} = \bm{U}\tilde{\bm{\Sigma}}\bm{V}^\top A=UΣ~V⊤ 其中V∈Rn,n\bm{V} \in \mathbb{R} ^{n,n}V∈Rn,n和U∈Rm,m\bm{U} \in \mathbb{R} ^{m,m}U∈Rm,m是正交矩阵（分别描述输入和输出空间中的旋转/反...

1. 安装依赖 apt update apt install locales 2. 修改语言为C.UTF-8 update-locale LANG=C.UTF-8 LC_ALL=C.UTF-8 修改.bashrc配置文件 vim ~/.bashrc 滚动到文件末尾，添加 export LANG="C.UTF-8" export LC_ALL="C.UTF-8" 刷新 source ~/.bashrc

1. 2025-10某项目 far_planner/config/default.yaml参数设置 main_run_freq设为5 robot_dim设为0.4 vehicle_height设为0.2 is_viewpoint_extend设为false is_static_env设为false MapHandler/map_grid_max_length设为2000 Util/terrain_free_Z设为0.1 Util/dynamic_obs_dacay_time设为5.0 GPlanner/goal_adjust_radius设为1.0

1. GraphMsger main_run_freq 主循环运行频率 voxel_dim 体素/网格分辨率（米），分辨率越小地图越精细、计算量越大 robot_dim 机器人的直径（米），用于碰撞检测/路径约束 vehicle_height 机器人高度（米） sensor_range 传感器有效探测距离（米） terrain_range 地形评估的半径（米） local_planner_range 局部规划的距离（米）室内1–3，室外5-10 visualize_ratio RViz中缩放常量 is_viewpoint_extend 当 设为为true时，规划器会把原始waypoint向离障碍物更“开阔”的方向推进（延伸一个观察点），以获得更好的视点（visibility）。如果环境很开阔或精确到指定点的任务建议设为false is_multi_layer 是否启用多楼层地图处理 is_opencv_visual 是否启用OpenCV可视化，仅影响开发调试显示 is_static_env 是否为静态环境，设为false会清除动态障碍物 is_pub_boundary 发布边界消...

1. 基础 1.1 定义和例子 当方阵A∈Rn,n\bm{A} \in \mathbb{R} ^{n,n}A∈Rn,n满足A=A⊤\bm{A} = \bm{A}^\topA=A⊤的时候则称这个矩阵为对称(symmetric)矩阵。n×nn \times nn×n的对称矩阵组成的集合是Rn,n\mathbb{R} ^{n,n}Rn,n的子空间，记作Sn\mathcal{S}^{n}Sn 样本协方差矩阵(sample covariance matrix)是对称矩阵，给定mmm个点x(1),⋯ ,x(m)∈Rn\bm{x}^{(1)},\cdots,\bm{x}^{(m)} \in \mathbb{R}^nx(1),⋯,x(m)∈Rn，则样本协方差矩阵写为 Σ≔1m∑i=1m(x(i)−x^)(x(i)−x^)⊤\Sigma \coloneqq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(\bm{x}^{(i)} - \hat{\bm{x}})(\bm{x}^{(i)} - \hat{\bm{x}})^\top Σ:=m1​i=1∑m​(x(i)−x^)(x(i)−x^)...

1. 矩阵基础 1.1 将矩阵视为数字的数组 矩阵(Matrix)是数组的矩形数组，形式为 A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]\bm{A}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} A=​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​ 这个矩阵有mmm行(rows)nnn列(columns)，若是元素为实数，我们可以说A∈Rm,n\bm{A} \in \mathbb{R}^{m,n}A∈Rm,n；若是元素为复数，我们可以说A∈Cm,n\bm{A} \in \mathbb{C}^{m,n}A∈...

1. 提取数据为csv或txt格式 在命令行中输入 rostopic echo -b xxx.bag -p /topic > xxx.csv(或.txt)

1. 向量基础 1.1 向量 向量可以被视为数字的集合(collection)，通常写为列排列 xix_ixi​被称为向量x\mathbf{x}x的第iii个元素(element)/条目(entry)/分量(component)，元素的数量为x\mathbf{x}x的维度 向量中的元素为实数(real)时，i.e. xi∈Rx_i \in \mathbb{R}xi​∈R，向量为实数向量，i.e. x∈Rn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^nx∈Rn；若向量中的元素为复数(complex)时，i.e. xi∈Cx_i \in \mathbb{C}xi​∈C，向量为复数向量，i.e. x∈Cn\mathbf{x} \in \mathbb{C}^nx∈Cn 当我们不在乎向量是行向量(row)还是列向量(column)时，可以直接使用x=(x1,x2⋯ ,xn)\mathbf{x}=(x_1,x_2 \cdots, x_n)x=(x1​,x2​⋯,xn​)来表示向量 1.2 向量空间 向量可以被视为空间中的点 向量空间(vector space),X\mathcal{X...

所用的环境： 操作系统版本：Ubuntu 编辑器：VScode 1. 编译器的下载与安装 1.1 文件下载 在清华源中下载镜像文件 对镜像文件挂载 sudo mount texlive.iso /mnt 1.2 图形界面安装 先安装图形化界面 sudo apt-get install perl-tk 启动图形界面安装(我通过X11进行图形转发，故需要加-E) sudo -E ./install-tl -gui 按照安装提示进行安装(建议将安装位置设为个人目录)，安装完成后卸载镜像文件 sudo umount /mnt 1.3 非图形界面安装 自定义安装位置 perl ./install-tl --no-interaction --texdir=/home/extend/texlive/2025 安装完成后卸载镜像文件 sudo umount /mnt 1.4 设置环境变量 打开.zshrc # >>> LaTeX >>> export PATH=export PATH=/home/extend/texlive/2025/bin/x86_64-linux:$PATH expor...